Verifica di rigidezza dell’impalcato

La verifica di rigidezza è necessaria in quanto nel modello di calcolo globale si è ipotizzato un impalcato infinitamente rigido. Infatti, per quanto esso possa essere rigido sarà soggetto ad una deformazione che comporta una variazione di spostamenti orizzontali dei telai piani rispetto a quanto previsto nel calcolo. Questa verifica non si dovranno riscontrare apprezzabili stati tensionali nelle travi e nei pilastri. Indicando con fr la massima deformazione dell’impalcato r, intesa come massimo spostamento rispetto alla sua deformata rigida, occorre confrontare la variazione di deformazione di due impalcati consecutivi con lo spostamento relativo fornito dalla risoluzione del telaio spaziale 

dove:

è la variazione di deformazione dell’impalcato r rispetto a quella inferiore

è lo spostamento relativo dell’interpiano r.

La verifica dovrebbe essere effettuata per ciascuno schema di calcolo considerando l’effettivo irrigidimento delle tamponature. E però possibile con un approccio incongruo, ma pratico e conservativo, confrontare il Δƒr ottenuto considerando uno schema limite di trave appoggiata-appoggiata soggetta ad un carico sismico uniformemente distribuito Pr, con la deformazione fr che può essere così calcolata:

Dove si tiene conto anche della deformazione prodotta dal taglio,  infatti χ indica il fattore di taglio della sezione resistente costituita dalla soletta di area A e momento di inerzia I nel piano orizzontale.

Structural pill: Verifica Inerzia Trave Fondazione

Verifica di Rigidezza 

Una volta che si è dimensionato/progettato la trave di fondazione ragionando in termini di resistenza (verifica a taglio e a flessione) e per carico limite, si può effettuare una verifica di rigidezza in quanto si vuole garantire alla stessa un'inerzia molto maggiore di quella delle travi della struttura in elevazione, almeno pari a 4 volte. 

Si riporta di seguito una verifica per un edificio di n.6 impalcati:

la nostra trave di fondazione dovrà quindi avere un'inerzia pari almeno a 4 volte It delle travi in elevazione, e nel caso specifico dovrà essere:

Trave Riva - Ripartizione trasversale dei carichi

Nella progettazione degli impalcati da ponte riveste un ruolo importante la disposizione dei carichi al fine di considerare la condizione piu' gravosa e calcolarne le massime sollecitazioni.
Come sappiamo, ad esempio le NTC08 prevedono, per gli impalcati da ponte, diverse distribuzioni e combinazioni dei carichi e noi strutturisti, e progettisti in genere, dobbiamo combinarli ipotizzando tutti i possibili scenari che possono dar luogo alle sollecitazioni piu' sfavorevoli.

Applicando l'ipotesi di Albenga - Courbon si determinano le quote, che competono alle travi principali, della disposizione trasversale piu' gravosa dei carichi.
Tale ipotesi tiene conto che:

1) i carichi percorrenti un ponte sono di norma eccentrici rispetto all'asse longitudinale

2) la struttura si considera costituita da travi longitudinali tra loro collegate da traversi infinitamente rigidi, per cui tutto l'impalcato si comporta come un elemento perfettamente rigido e quindi non puo' inflettersi nel piano trasversale verticale. 
Al fine di capire il criterio posto alla base dell’ipotesi di Courbon, prendiamo per primo in considerazione un ponte con traversi di limitata sezione, e pertanto particolarmente flessibili, e supponiamo che il carico sia disposto vicino al bordo del marciapiede laterale [fig. 1]; a causa della notevole flessibilità dei traversi, questi e la soletta si deformano trasversalmente e il carico si distribuisce in modo differente fra le varie travi, e precisamente le travi A e B sopportano la maggior parte del carico, mentre la trave D è quasi scarica.

Courbon considera invece i traversi con una rigidezza elevata, perfettamente solidali con le travi principali, e le due serie di travi presentano una rigidezza flessionale pressoché uguale. Con tale situazione il complesso di impalcato, costituito di travi principali, traversi e soletta, non può flettersi trasversalmente come prima per effetto del carico, che provoca invece una rotazione rigida dell’impalcato in senso trasversale [fig. 2], determinando una ripartizione lineare dei carichi.

Il metodo di Albenga-Courbon è approssimato, però presenta il vantaggio di un'applicazione abbastanza semplice; può essere applicato solo per impalcati a pianta rettangolare allungata.

Come detto, il carico considerato percorre il ponte in posizione eccentrica per cui la risultante dei carichi P presenta un'eccentricità "e" rispetto all'asse longitudinale.

Omettendo i passaggi matematici intermedi, si riporta di seguito la formula finale e relativo coefficiente di ripartizione del carico:

Pi = quota del carico P che agisce sulla generica trave i =

La trave piu' sollecitata e' sempre quella piu' lontana dall'asse ed e' chiamata TRAVE DI RIVA, per cui tutti i calcoli di progetto e/o verifica, di norma, si sviluppano solo per quest'ultima (nell'ipotesi che le restanti travi siano di pari sezione e caratteristiche).

Si riporta un piccolo esempio di calcolo ed uno stralcio con i principali coefficienti k per diverse tipologie di travi.

Esempio di calcolo, trave su 4 appoggi e carico sulla n.1

Stralcio Coefficienti Ki per diverse tipologie di travi

Fonte:
- CORSO DI COSTRUZIONI 5, SEI, 2011
- PRONTUARIO PER IL CALCOLO DI ELEMENTI STRUTTURALI, LE MONNIER 2003

Indagini Geologiche | Volume Significativo

Ogni opera di ingegneria, sia essa un semplice edificio o un complesso di opere, interagisce con una parte del sottosuolo detta volume significativo.

Il comportamento dell'opera dipende da diversi fattori quali i carichi applicati, la geometria dell'opera e dalle caratteristiche del sottosuolo all'interno del volume significativo.

I carichi e la geometria dell'opera sono dati noti e comunque modificabili durante il corso della progettazione. Le caratteristiche del volume significativo del sottosuolo sono quasi sempre immodificabili e devono essere determinate.

Lo scopo delle indagini in sito è identificare le condizioni stratigrafiche e di falda all’interno del volume significativo e di caratterizzare, quindi, il “terreno” oggetto dei nostri calcoli.

Da un lato occorrono le conoscenze di geologia ma dall'altro sono importanti le conoscenze ingegneristiche dell’opera da realizzare.

Le indagini geotecniche vanno estese a quella parte di sottosuolo che si reputi sarà influenzata dalla nostra costruzione.

Per una speditiva caratterizzazione del volume da investigare ci si può far riferimento alle “Raccomandazioni sulla programmazione ed esecuzione delle indagini geotecniche” (AGI, 1977). La figura  illustra l’estensione del volume significativo per le più frequenti opere geotecniche.

Il grado di approfondimento dell’indagine geotecnica nel volume significativo del sottosuolo dipende dalla fase di progettazione (preliminare, definitiva, esecutiva), dalla complessità delle condizione stratigrafiche e geotecniche, e dall’importanza dell’opera (strategica o meno).
La densità e la tipologia delle indagini devono essere stabilite in funzione di:

• caratteristiche opera in progetto;
• caratteristiche terreno di fondazione;
• analisi costi/benefici.

Nella tabella seguente sono riportate le ampiezze orientative delle indagini geotecniche per alcune differenti tipologie di opere.

Fonti:

-          Dispense di Geotecnica – Università degli Studi di Firenze, Dip. Ingegneria Civile e Ambientale.

-          Fondazioni, Viggiani

Edifici Alti - III parte

Metodologia per la progettazione preliminare di strutture diagrid regolari

Questa terza ed ultima parte, per il momento, mira alla definizione di un metodo di predimensionamento delle strutture diagrid di forma regolare, essenzialmente prismatica, le quali possono essere ricondotte a schemi notevoli e quindi facilmente risolvibili.

“Nelle strutture diagrid per edifici alti un nucleo controventato contribuisce solo al 15-20% della rigidezza laterale totale”(1). Per questo ragione si assegna tutta la rigidezza laterale alla diagrid perimetrale e di conseguenza i nuclei possono essere progettati esclusivamente per portare solo i carichi gravitazionali.

La metodologia proposta è riferita agli studi di Moon il quale, in una progettazione basata sulla rigidezza, modella l’edificio come una trave che viene suddivisa poi in moduli in accordo allo schema diagrid.

Ogni modulo è definito da un singolo livello di diagrid che si estende su n piani (Fig. 1). A seconda della direzione del carico le facce dell’edificio funzionano come elementi anima o flangia. Le diagonali sono modellate come incernierate all’estremità e quindi resistono a sforzo di taglio e a momento flettente attraverso un regime di sforzi assiali.

“Con questa idealizzazione, il problema progettuale si riduce nel determinare l’area della sezione trasversale dei tipici elementi anima e flangia di ogni modulo. Queste quantità vengono stabilite con un approccio basato sulla rigidezza”(2). In riferimento alla figura 3, di cui al posto "parte II", il taglio e il momento possono essere espressi in termini di spostamento e rotazione relativi:

Applicando le formule del paragrafo precedente si ottengono le formule per la rigidezza tagliante e flessionale del modulo:

Dove:
- Nw: numero di diagonali su ogni elemento anima.
- Nf : numero di diagonali su ogni elemento flangia.
- Ad,w : area di ogni diagonale sull’anima.
- Ad,f: area di ogni diagonale sulla flangia.
- E: modulo elasticità acciaio diagonali.
- δf : contributo delle diagonali d’anima per la rigidezza flessionale (≈2).
- Ld : lunghezza diagonale.
- Θ: angolo tra gli elementi diagonali.

Avendo taglio e momento, e specificando γ* e χ* rispettivamente come la deformazione a taglio trasversale desiderata e la deformazione flessionale desiderata, si ha:

Sostituendo nelle precedenti si ottengono le formule per la determinazione delle aree delle sezioni degli elementi:

L’angolo θ è quello descritto nel post precedente, bisogna quindi valutare γ* e χ*.
Assumendo la struttura modellata come una mensola e caricata uniformemente, lo spostamento al top è dato da:

Dove γ*H è il contributo della deformazione a taglio e (χ*H2)/2 è il contributo della flessione. Allo scopo di specificare il contributo del taglio rispetto alla flessione si introduce un fattore adimensionale ‘s’ che è uguale al rapporto tra lo spostamento al top dovuto alla flessione e quello dovuto al taglio:

Il massimo spostamento consentito al top è di solito espresso tramite una frazione dell’altezza totale:

Facendo le opportune sostituzioni si ha:


Bisogna stabilire il valore opportuno di ‘s’.
“Appena un edificio diventa alto e il suo aspect ratio incrementa, l’edificio tende naturalmente a funzionare più come una torre con un grande rapporto deformazione flessionale su deformazione tagliante ‘s’. Il valore di ‘s’ dipende non solo dall’aspect ratio ma anche dal sistema strutturale utilizzato perché ogni sistema ha le sue caratteristiche comportamentali”(3).
Per osservare l’andamento del valore di ‘s’ ci riferiremo allo studio condotto da K.S. Moon e riportati in Sustainable Structural Engineering Strategies for Tall Buildings (Wiley Interscience 2008). Gli studi sono stati condotti su edifici con struttura diagrid alti rispettivamente 40,60,80 e 100 piani. Per l’edificio di 40 piani è stato appurato valore dell’angolo ottimale θ di 63°, mentre per i restanti θ è stato posto pari a 69°.
Dai grafici che seguono, si nota come l’edificio diventa alto il valore ottimale di ‘s’, in termini di materiale usato, diventa alto.

Questi risultati concordano con il fatto che la modalità flessionale governa più di quella tagliante appena l’edificio diventa alto. In queste strutture diagrid non si sono colonne verticali, quindi la flessione viene portata dalle diagonali perimetrali le quali sono più efficaci nel portare il taglio nei piani dell’anima che portare la flessione nei piani delle flange. Questo spiega il rapido aumento del valore ottimale di ‘s’ appena la struttura diagrid diventa alta.
Sulla base di questi studi Moon ha sviluppato le seguente formule empiriche per la valutazione di ‘s’:

Con questa metodologia il predimensionamento degli elementi diagonali di una struttura diagrid viene effettuato in maniera rigorosa.


ESEMPIO APPLICATIVO

Volendo trovare dei riscontri di questa metodologia in progetti già realizzati, si riporta di seguito un esempio relativo all'edificio Hearst Tower. Ovviamente il procedimento sarà inverso ovvero, partendo dalle sezioni degli elementi diagonali, calcoleremo il valore di ‘s’ effettivo e lo confronteremo con i risultati di Moon.

Dati:
H=183 metri
Nst=46
Hmodulo=16,54 metri (4 piani)
Θ=69°.9
Ld=17,6 metri
Ad=70300 mmq
E=206000 N/mmq
Nw=8
Nf=6
T=8996 kN
M=679523 kNm                                              

Applicando le formule descritte in precedenza, calcoliamo la deformazione tagliante:

Per la determinazione di ‘s’ quindi utilizziamo la seguente relazione:

Osservando la tabella 5.1 si nota che ‘s’ è compreso nel range di valori ottimali proposti da Moon.

note:
(1) = K. S. Moon, J. J. Connors and J. E. Fernandez, Diagrid Structural System For Tall Builndings: Characteristics and Methodology for Preliminary Design, The structural design of tall and special buildings 2007.
(2) = K. S. Moon, J. J. Connors and J. E. Fernandez, Diagrid Structural System For Tall Builndings:
Characteristics and Methodology for Preliminary Design, The structural design of tall and special buildings 2007.
(3) = K. S. Moon, Material-Saving Design Strategies for Tall Building Structures, CTBUH 8th World Congress 2008

Edifici Alti - II Parte

STRUTTURE DIAGRID

Le strutture diagrid, grazie alla possibilità di poter variare gli angoli tra i suoi elementi, hanno la potenzialità di generare una varietà di forme, anche irregolari, e permettono la realizzazione di strutture per edifici alti di forma complessa.

Validi esempi di strutture Diagrid sono il Capital Gate (Abu Dhabi), L'Emerald Green (Milano) ed il CCTV (Pechino), la Swiss Re (Londra) e la Hearst Tower (New York).

Comportamento Strutturale

In un sistema strutturale diagrid la maggior parte dei carichi verticali e laterali dell’edificio, grazie alla configurazione triangolare dei suoi elementi, sono presi dalle diagonali esterne della diagrid. Questo permette, rispetto alle tradizionali strutture a telaio controventato, di eliminare quasi tutte le colonne interne. “Rispetto alle tradizionali strutture a tubo intelaiato senza diagonali, le strutture diagrid sono molto più efficaci nel ridurre al minimo la deformazione da taglio perché loro portano il taglio per sforzo assiale degli elementi diagonali, mentre le tradizionali strutture a tubo intelaiato portano il taglio attraverso la flessione delle colonne verticali” (1) . Un altro sistema strutturale impiegato per gli edifici alti è la struttura con outrigger. Correttamente progettata la struttura con outrigger è efficace nel ridurre il momento e lo spostamento dell’edificio nei punti al di sotto degli outrigger. La differenza rispetto al sistema diagrid è che il sistema non fornisce rigidezza tagliante per cui i nuclei devono essere progettati per portare tutto il taglio della struttura. Nelle strutture diagrid non c’è bisogno di nuclei con elevata rigidezza tagliante in quanto tutto il taglio può essere portato dalle diagonali poste sul perimetro. Una struttura diagrid deve garantire quindi un’adeguata rigidezza tagliante e flessionale.

Per comprendere il comportamento della struttura diagrid e apprezzare la sua versatilità analizziamo il comportamento di una maglia triangolare elementare soggetta a carichi verticali.

Figura 1 - Hearst Tower

Figura 2 - Swiss Re

Il carico verticale NCV, in caso di maglia verticale (fig.1), si ripartisce tra le due diagonali (compresse) in funzione dell’angolo α attraverso la seguente formula:

Il corrente inferiore (teso) invece è legato allo sforzo nella diagonale attraverso:

Nel progetto della Swiss Re la maglia elementare presenta un’inclinazione, rispetto a quella dell’Hearts Tower, per cui ogni nodo sarà caratterizzato da azioni orizzontali. 

La forza F, agente nel piano della maglia, è legata all’angolo β attraverso:

La forza orizzontale H si calcola invece con:   

Di conseguenza gli sforzi negli elementi della maglia diventano:

Queste forze orizzontali possono determinare lo spanciamento della diagrid, da qui la soluzione di adottare, nella Swiss Re, degli anelli orizzontali per contrastare quest’azione. Questa inclinazione, con le sue conseguenze, si ripercuote anche nella progettazione dei nodi in quanto la loro geometria e le sollecitazioni agenti variano ad ogni livello. 

Angolo Ottimale Diagonali Diagrid

Dal punto di vista geometrico acquista importanza l’angolo delle diagonali della diagrid il cui valore influenza la rigidezza laterale della struttura. 

Considerando solo la rigidezza tagliante, l’angolazione ottimale per gli elementi diagonali può essere stimata utilizzando il modello semplice di telaio controventato mostrato in figura 3.

Figura 3 - Telaio elementare e relativa deformazione

Il presupposto fondamentale è che gli elementi portino solo sforzo assiale. Lo sforzo di taglio della sezione trasversale è legato alle forze sugli elementi diagonali:

Assumendo un comportamento elastico lineare, le forze sugli elementi sono inoltre legate alla deformazione estensionale della diagonale con:

La deformazione estensionale dovuta allo spostamento laterale tra i nodi adiacenti è funzione di Δh e θ:

Trascurando la deformazione assiale nelle diagonali dovuta alla rotazione Δβ, e approssimando la deformazione di taglio trasversale γ come:

Otteniamo la seguente approssimazione per la deformazione estensionale totale:

Sostituendo il precedente risultato nell’equazione della forza da taglio si ha:

Per definizione, la rigidità di taglio trasversale collega la forza di taglio con la deformazione da taglio:

Ne consegue che:

L’andamento di sin2θ*cosθ, mostrato nel grafico 1, indica che l’angolo ottimale per la massima rigidezza tagliante è di circa 35 gradi.

Per quanto riguarda l’azione flettente, nel telaio controventato è assorbita mediante sforzo assiale nelle colonne verticali. Per le strutture diagrid, che non hanno colonne verticali, la flessione è portata per sforzo assiale nelle diagonali. Dal momento che l’angolo ottimale delle colonne per la massima rigidezza flessionale è di 90° e quello delle diagonali per la massima rigidezza tagliante è di 35°, si prevede che l’angolo ottimale degli elementi diagonali della diagrid sarà compreso tra questi valori. 

Edifici bassi con basso aspect ratio (altezza/larghezza) si comportano come travi a taglio; gli edifici alti di elevato aspect ratio tendono a comportarsi come una trave inflessa. Di conseguenza all’aumentare dell’altezza si presume che aumenti l’angolo ottimale.
Di seguito si riporta un grafico dove sono rappresentati gli studi di K.S. Moon per edifici di 20,42 e 62 piani in cui è stato valutato lo spostamento in sommità al variare dell’angolo ottimale a parità di membrature.

Dal grafico si evince chiaramente come all’aumentare dell’altezza aumenta l’angolo anche ottimale. Col crescere dell’altezza dell’edificio, non sempre una diagrid con angolo uniforme è la struttura più efficiente. All’aumentare dell’altezza, le diagonali per resistere ai carichi gravitazionali, che aumentano, necessitano di un incremento delle sezioni verso la base. Inoltre, l’incremento di momento ribaltante dalla cima alla base è superiore a quello delle forze da taglio.
Generalmente, in una struttura diagrid correttamente progettata, il progetto della parte superiore dell’edificio è disciplinato dal taglio, mentre per la parte inferiore è disciplinato dal momento e dai carichi gravitazionali. Considerando questi fatti si può presumere che le strutture diagrid con angoli variabili avranno una maggiore efficienza strutturale. Per quanto riguarda questo caso sono stati condotti degli studi da Chonghou Zhang, Feng Zhao and Yansheng Liu a cui faremo riferimento. Considerando che le diagonali diritte hanno una maggiore efficienza in termini di rigidezza laterale, dovuta alla linearità e al fatto che i carichi sono trasmessi direttamente da un capo all’altro, si può individuare la variazione delle diagonali solo usando due variabili geometriche, θ1 e θ2 (fig. 4).
Se θ1= θ2, abbiamo la diagrid con angolo uniforme.
Poiché il momento ribaltante è piccolo al piano superiore, solo la rigidezza tagliante è necessaria per progettare questo piano e l’angolo ottimale è di 35 gradi, il quale è assunto come limite inferiore per θ1. Per quanto riguarda θ2, al variare del numero dei piani, si è considerato un valore crescente.

Figura 4 - Individuazione parametri geometrici θ1 e θ2

Lo studio condotto da Chonghou Zhang, Feng Zhao and Yansheng Liu fa riferimento a edifici alti 30,37,45,60 e 75 piani.
“Analizzando i risultati si nota che per strutture di 30 piani e con un aspect ratio più piccolo di 3,6 , il caso di angolo uniforme è sempre quello che da il minor quantitativo di acciaio. Per le strutture di 37 piani e con aspect ratio di 4,4 non sempre il caso di angolo uniforme è il più economico, però la differenza tra i valori di θ1 e θ2 è piccola. Per gli edifici di 45 piani e con aspec ratio di 5,4 il caso di angolo uniforme può raggiungere difficilmente una progettazione economica. In termini di quantità di materiale richiesto, il range ottimale di θ2 varia tra i 70° e i 75°. Invece per le strutture di 60 e 75 piani il tonnellaggio minimo s ha con un’angolazione della diagrid variabile” (2).

Note:

(1) K. S. Moon, J. J. Connors and J. E. Fernandez, Diagrid Structural System For Tall Builndings: Characteristics and Methodology for Preliminary Design, The structural design of tall and special buildings 2007.
(2) Chonghou Zhang, Feng Zhao and Yansheng Liu, Diagrid Tube Structures Composed of Straight Diagonals with Gradually Varying Angles, The structural design of tall and special buildings 2010.